Question

已知圆，直线与圆相切，且交椭圆于两点，c是椭圆的半焦距，.

（1）求m的值；

（2）O为坐标原点，若，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线与直线分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查圆的标准方程、椭圆的标准方程、直线的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，考查转化能力和计算能力.第一问，利用直线与圆相切，利用圆心到直线的距离为半径，列出等式，求出；第二问，直线与椭圆相交，两方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之和，两根之积和向量的数量积联立，得到和，从而求出椭圆的方程；第三问，设直线的斜率，设出直线的方程，直线与椭圆联立，消参，利用两根之积，得到的值，则可以用表示坐标，利用点坐标，求出直线的方程，直线的方程与直线联立，求出点坐标，利用两点间距离公式，得到的表达式，利用均值定理求出最小值.

试题解析：（1）直线与圆相切,

所以 4分

(2) 将代入得

得:①

设则

因为 ②

由已知代人（2）

所以椭圆的方程为 8分

(Ⅲ)显然直线AS的斜率存在，设为且则

依题意，由得：

设则即

，又B（2，0）所以 BS：

由

所以时： 12分

考点：1.点到直线的距离；2.向量的数量积；3.韦达定理；4.均值定理.