Question

已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）的极小值为，无极大值；

（2）①当时，在和上是减函数，在上是增函数；

②当时，在上是减函数；

③当时，在和上是减函数，在上是增函数

（3）.

【解析】

试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.

试题解析：（1）当时， 1分

由,解得. 2分

∴在上是减函数，在上是增函数. 3分

∴的极小值为，无极大值. 4分

（2）. 5分

①当时，在和上是减函数，在上是增函数； 6分

②当时，在上是减函数； 8分

③当时，在和上是减函数，在上是增函数. 8分

（3）当时，由（2）可知在上是减函数，

∴. 9分

由对任意的恒成立，

∴ 10分

即对任意恒成立，

即对任意恒成立， 11分

由于当时，，∴. 12分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.