Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，点M在线段EC上（除端点外）

（1）当点M为EC中点时，求证：平面；

（2）若平面与平面ABF所成二面角为锐角，且该二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积

Answer

（1）证明过程详见；（2）

【解析】

试题分析：本题主要考查线线平行、线线垂直、线面平行、二面角、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，考查用空间向量法解立体问题，考查学生的计算能力 第一问，取N为ED中点，利用中位线得，而，所以，所以ABMN为平行四边形，所以，所以利用线面平行的判定可得∥平面；第二问，用向量法解题，关键是建立空间直角坐标系，求出平面BDM和平面ABF的法向量，利用夹角公式求出，从而求出的值，即点M为EC中点，所以利用等体积转化法求三棱锥B DEM的体积

试题解析：（1）证明 取中点，连结 在△中，分别为的中点，

则∥，且 由已知∥，，

因此，∥，且 所以，四边形为平行四边形

于是，∥ 又因为平面，且平面，

所以∥平面 6分

（2）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合

设，则，又，设，则，即

设是平面的法向量，则

,

取，得，即得平面的一个法向量为 …… 10分

由题可知，是平面的一个法向量

因此，，

即点为中点 此时，，为三棱锥的高，

所以， ……… 12分

考点：1 线面平行的判定；2 向量法；3 三棱锥的体积