Question

（本小题满分14分）如图，平面平面，四边形为矩形，△为等边三角形．为的中点，．

（1）求证：；

（2）求二面角的正切值．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）连接,要证,只需证明面,只需证明, 由已知面面垂直，易证,所以,面,得到,因为,易证,所以面,得,得证面，即证 ；（2）由（1），得．不妨设，则．因为为等边三角形，则

过作，垂足为，连接，则就是二面角的平面角，易证,求出.

试题解析：（1）证明：连结，因，是的中点，

故． 1分

又因平面平面，

故平面，

于是． 3分

又，

所以平面，

所以， 5分

又因，故平面，

所以． 7分

（2）由（1），得．不妨设，则．

因为为等边三角形，则 9分

过作，垂足为，连接，

则就是二面角的平面角. 11分

在中，，，，

所以，又，所以

即二面角的正切值为． 14分

考点：1.面面垂直的性质；2线面垂直的判定，性质；3.二面角的求法.