Question

如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．

（1）求证：；

（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接,要证,只需证明面,只需证明, 由已知面面垂直，易证,所以,面,得到,因为,易证,所以面,得,得证面，即证 ；（2）设由（1）法一：知，为等边三角形，设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．取的中点，连结，，则，，

所以为二面角的平面角，然后用余弦定理计算.法二：如图建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，利用公式,根据实际图形为钝二面角.

试题解析：如图：

（1）证明：连结，因，是的中点，

故．

又因平面平面，

故平面， 2分

于是．

又，

所以平面，

所以， 4分

又因，

故平面，

所以． 6分

（2）解法一：由（I），得．不妨设，． 7分

因为直线与平面所成的角，

故，

所以，为等边三角形． 9分

设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．

取的中点，连结，，则，，

所以为二面角的平面角． 12分

在中，，， 13分

故，

即二面角的余弦值为． 14分

解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，， 8分

从而，.

设平面的法向量为，

由，得，

可取． 10分

同理，可取平面的一个法向量为

． 12分

于是， 13分

易见二面角的平面角与互补，

所以二面角的余弦值为． 14分

考点：1.面面垂直的性质；2线面垂直的判定，性质；3.二面角的求法.