Question

抛物线在点，处的切线垂直相交于点，直线与椭圆相交于，两点．

（1）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；

（2）设点到直线的距离为，试问：是否存在直线，使得，，成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）;（2）不存在.

【解析】

试题分析：（1）分别求出抛物线与椭圆的焦点，利用两点间距离公式求解；（2）设直线与抛物线相交于与椭圆相交于,,所以直线与抛物线方程联立，得到和然后利用,求出切线，的斜率，利用切线垂直，,解出m,然后分别设出过点的切线方程，求出交点的坐标，利用点到直线的距离公式求,直线与曲线相交的弦长公式求,若，，成等比数列，则,化简等式，通过看方程实根情况.

试题解析：（I）抛物线的焦点， 1分

椭圆的左焦点， 2分

则． 3分

（II）设直线，，，，，

由，得， 4分

故，．

由，得，

故切线，的斜率分别为，，

再由，得，

即，

故，这说明直线过抛物线的焦点． 7分

由，得，

,即． 8分

于是点到直线的距离. 9分

由，得， 10分

从而， 11分

同理，． 12分

若，，成等比数列，则， 13分

即，

化简整理，得，此方程无实根，

所以不存在直线，使得，，成等比数列． 15分

考点：1.椭圆与抛物线的性质；2.导数的几何意义；3.直线与曲线的交点问题；4.弦长公式.