Question

设，函数．

（1）当时，求在内的极大值；

（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.（其中是的导函数．）

Answer

（1）1;（2） .

【解析】

试题分析：（1）当时，求, 令，求,利用的单调性，求的最大值，利用的最大值的正负，确定的正负，从而确定的单调性，并确定的正负，即的正负，得到的单调性，确定极大值，此题确定极大值需要求二阶导数，偏难；（2）先求函数，再求,由方程有两个不等实根, 确定的范围，再将代入，再整理不等式，讨论,,三种情况，反解，从而利于恒成立求出的范围.属于较难试题.

试题解析：（1）当时，，

则， 2分

令，则，

显然在内是减函数，

又因，故在内，总有，

所以在上是减函数 4分

又因， 5分

所以当时，，从而，这时单调递增，

当时，，从而，这时单调递减，

所以在的极大值是． 7分

（2）由题可知，

则． 8分

根据题意，方程有两个不同的实根，（），

所以，即，且，因为，所以.

由，其中，可得

注意到，

所以上式化为，

即不等式对任意的恒成立 10分

（i）当时，不等式恒成立，；

（ii）当时，恒成立，即．

令函数，显然，是上的减函数，

所以当时，，所以； 12分

（iii）当时，恒成立，即．

由（ii），当时，，所以 14分

综上所述，． 15分

考点：1.利于导数求函数的极值；2.利用导数解决恒成立问题.