Question

已知函数

（1）求的最小值；

（2）设，．

（ⅰ）证明：当时，的图象与的图象有唯一的公共点；

（ⅱ）若当时，的图象恒在的图象的上方，求实数的取值范围．

Answer

（1）0；（2）（ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）先求的导数，利用求出的单调区间，从而判断出函数在何处取得最小值以及最小值是多少.（2）（ⅰ）当时，的图象与的图象交点的个数等于函数的零点的个数；可利用导数探究函数的单调性，作函数有一零的证据之一；（ⅱ）当时，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，利用的导数研究其单调性，注意参变量，对函数单调性及最值的影响，适时进行分类讨论.

试题解析：（1）求导数，得f ′(x)＝ex－1．

令f ′(x)＝0，解得x＝0．

当x＜0时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数；

当x＞0时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

故f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0． 4分

（2）设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x－ax2，则h′(x)＝ex－1－2ax．[

（ⅰ）当a＝时，y＝ex－1－x的图象与y＝ax2的图象公共点的个数等于

h(x)＝ex－1－x－x2零点的个数．

∵h(0)＝1－1＝0，∴h(x)存在零点x＝0．

由（1），知ex≥1＋x，∴h′(x)＝ex－1－x≥0，

∴h(x)在R上是增函数，∴h(x)在R上有唯一的零点．

故当a＝时，y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有唯一的公共点． 9分

（ⅱ）当x＞0时，y＝f(x)的图象恒在y＝g(x)的图象的上方

⇔当x＞0时，f(x)＞g(x)，即h(x)＝ex－1－x－ax2＞0恒成立．

由（1），知ex≥1＋x（当且仅当x＝0时等号成立），

故当x＞0时，ex＞1＋x．

h′(x)＝ex－1－2ax＞1＋x－1－2ax＝(1－2a)x，

从而当1－2a≥0，即a≤时，h′(x)≥0（x＞0），

∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数，又h(0)＝0，

于是当x＞0时，h(x)＞0．

由ex＞1＋x（x≠0），可得e－x＞1－x（x≠0），

从而当a＞时，h′(x)＝ex－1－2ax＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，

故当x∈(0，ln2a)时，h′(x)＜0，

此时h(x)在(0，ln2a)上是减函数，又h(0)＝0，

于是当x∈(0，ln2a)时，h(x)＜0．

综上可知，实数a的取值范围为(－∞，]． 14分

考点：1导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论与等价转化的思想.