Question

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．

（1）若a＝3，b＝，求c；

（2）求的取值范围．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）根据三角形内角和定理和诱导公式，将三角形内角的三角函数关系转化为角的关系，求出其中的一个角，然后利用余弦定理列方程，即可求的值.要注意角的范围和三角函数的单调性.

（2）利用（1）的部分结论，可得，

＝＝＝,化成只含一个角的三角函数值，再利用三角函数的性质求出该式的范围.

试题解析：（1）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．

∵△ABC是锐角三角形，

∴A－B＝－C，即A－B＋C＝， ①

又A＋B＋C＝π， ②

由②－①，得B＝．

由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得()2＝c2＋(3)2－2c×3cos，

即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．

当c＝2时，b2＋c2－a2＝()2＋22－(3)2＝－4＜0，

∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．

故c＝4． 6分

（2）由（1），知B＝，∴A＋C＝，即C＝－A．

∴＝＝＝sin(2A－)．

∵△ABC是锐角三角形，

∴＜A＜，∴－＜2A－＜，

∴－＜sin(2A－)＜，∴－1＜＜1．

故的取值范围为(－1，1)． 12分

考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的性质.