Question

已知数列{a_n}满足a₁＞0，a_n＋1＝2－|a_n|，n∈N^*．

（1）若a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值；

（2）是否存在a₁，使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．

Answer

（1）或（2）

【解析】

试题分析：（1）首先利用递推公式把都用表示，再根据成等比数列，列方程解出的值，注意根据绝对值的定义要对的取值范围分类计论.

（2）对于这类开放性问题，处理的策略就是先假设存在a1，使数列{an}为等差数列，与（1）类似，根据成等差数列，有，从面得到关于的方程，方程若有解则存在，否则可认为不存在a1，使数列{an}为等差数列.

试题解析：（1）∵a1＞0，∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|．

当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，∴a12＝(2－a1)2，解得a1＝1．

当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，∴a1(4－a1)＝(2－a1)2，解得a1＝2－（舍去）或a1＝2＋．

综上可得a1＝1或a1＝2＋． 6分

（2）假设这样的等差数列存在，则

由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝a1＋(2－|2－a1|)，即|2－a1|＝3a1－2．

当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；

当0＜a1≤2时，2－a1＝3a1－2，解得a1＝1，从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；

综上可知，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列． 12分

考点：1、等差数列、等比数列的定义；2、分类讨论的思想.