Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．

（1）求直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值；

（2）在线段BC₁上确定一点D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）解决这类问题的思路是，根据几何体的结构特征找出或作出所求的线面角，再设法利用三角形知识求其正弦；或是建立适当的空间直角坐标系，借助法向量和直线的方向向量求直线与平面所成角的正弦；由于该问题中的几何体中棱的垂直关系较为明显，可采用后者.

（2）在（1）中已建立空间直角坐标系的基础上，用向量法解决垂直问题很是方便.

设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且＝λ（λ∈[0，1]）,求出向量的坐标，利用互相垂直的向量的数量积为零建立方程，求出的值.

试题解析：（1）∵AA1C1C为正方形，∴AA1⊥AC．

∵平面ABC⊥平面AA1C1C，

∴AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．

由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，

则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)，

∴＝(0，3，－4)，＝(4，0，0)，＝(4，－3，0)．

设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

令z＝3，则x＝0，y＝4，∴n＝(0，4，3)．

设直线B1C1与平面A1BC1所成的角为θ，则

sinθ＝|cos＜，n＞|＝＝＝．

故直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为． 6分

（2）设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且＝λ（λ∈[0，1]），

∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，

∴x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，

∴＝(4λ，3－3λ，4λ)．

又＝(0，3，－4)，

由·＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0，

即9－25λ＝0，解得λ＝∈[0，1]．

故在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．

此时＝λ＝． 12分

考点：1、直线与平面所成角的概念；2、空间直角坐标系；3、空间向量的夹角公式的应用.