Question

甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

（1）求第4局甲当裁判的概率；

（2）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）根据题意，甲第一局当裁判，则第二局一定是参加比赛，第四局当裁判，说明第三局继续参加比赛，所以，甲参加了第二、三两局的比赛，且第二局胜，第三局负.

（2）根据题意，在四局比赛中，乙参赛的情况与比赛结果可用下表表示五种情况：

第一局

第二局

第三局

第四局

当裁判次数

1

参赛（胜）

参赛（胜）

参赛（胜）

参赛

0

2

参赛（胜）

参赛（胜）

参赛（负）

裁判

1

3

参赛（胜）

参赛（负）

裁判

参赛

1

4

参赛（负）

裁判

参赛（胜）

参赛

1

5

参赛（负）

裁判

参赛（负）

裁判

2

由此明确的所有可能的值，以及对应每个取值的含义，求出的分布列，进而求出的值.

试题解析：（1）记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A表示事件“第4局甲当裁判”．

则A＝A1·A2．

P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝． 4分

（2）X的可能取值为0，1，2．

记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，

B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，

B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，

B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，

P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝．

∴X的分布列为

X

0

1

2

P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝． 12分

考点：1、独立重复试验.2、离散型随机变量的分布列与数学期望.