Question

如图，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（1）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y²＝1上；

（2）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F₁、F₂分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF₁和NF₂与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率k_OP、k_OQ、k_OS、k_OT满足k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析（2）满足条件的点N存在，其坐标为

【解析】

试题分析：根据条件，可用参数表示点的坐标，两点式写出直线的方程，并求出它们的交点的坐标，消去参数即可得证.（2）假设存在点在直线上，使,

设， ，, ， 直线的斜率为，直线的斜率为 ，可写出两直线的方程，并分别与椭圆方程联立组成方程级，利用一元二次方程根与系数的关系，结合条件探究与的关系，从而确定关于的方程的根的存在性，也就是点的存在性.

试题解析：（1）由已知，得F(，0)，C(，1)．

由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．

又E(0，－1)，G(0，1)，则

直线ER的方程为y＝x－1， ①

直线GR′的方程为y＝－x＋1． ②

由①②，得M(，)．

∵＋()2＝＝＝1，

∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上． 5分

（2）假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则

直线NF1的方程为y＝k1(x＋1)，其中k1＝，

直线NF2的方程为y＝k2(x－1)，其中k2＝．

由消去y并化简，得(2k12＋1)x2＋4k12x＋2k12－2＝0．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．

∵OP，OQ的斜率存在，∴x1≠0，x2≠0，∴k12≠1．

∴kOP＋kOQ＝＋＝＋＝2k1＋k1·＝k1(2－)＝－．

同理可得kOS＋kOT＝－．

∴kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝－2(＋)＝－2·＝－．

∵kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0，∴－＝0，即(k1＋k2)(k1k2－1)＝0．

由点N不在坐标轴上，知k1＋k2≠0，

∴k1k2＝1，即·＝1． ③

又y0＝x0＋2， ④

解③④，得x0＝－，y0＝．

故满足条件的点N存在，其坐标为（－，）． 13分

考点：1、动点轨迹方程的求法；2、直线与椭圆的位置关系的应用；3、平面向量的坐标表示.