Question

如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。

（1）求证BC⊥平面AFG；

（2）求二面角B－AE－D的余弦值．

Answer

(1)详见解析， (2)

【解析】

试题分析：(1)折叠问题，首先要明确折叠前后量的变化，尤其是垂直条件的变化，本题要证明线面垂直，首先找线线垂直，折叠前后都有条件,而折叠后直线变为两条相交直线，因此可由线面垂直判定定理得到BC⊥平面AFG ，(2)求二面角，有两个方法，一是作出二面角的平面角，二是利用空间向量计算；本题易建立空间直角坐标系，较易表示各点坐标，因此选择利用空间向量求二面角.下面的关键是求出两个平面的法向量，平面ADE的一个法向量易求，而平面ABE的一个法向量则需列方程组求解，最后利用数量积求夹角的余弦值

试题解析：(1) 在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC． 2分

在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．

又DE//BC，所以BC⊥平面AFG． 4分

(2) 因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，FD，FG两两垂直．

以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，所以，0)． 6分

设平面ABE的一个法向量为．

则，即，

取，则，，则． 8分

显然为平面ADE的一个法向量，

所以． 10分

二面角为钝角，所以二面角的余弦值为． 12分

考点：线面垂直判定，空间向量求二面角