Question

甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打局：

（1）列出随机变量的分布列；

（2）求的期望值E．

Answer

（1）

ξ

2

4

6

P

（2）

【解析】

试题分析：（1）先列出随机变量所有可能值，为2，4，6.再分别讨论三种情况下，两者输赢情况,需全面考虑，不能遗漏,如时，甲可以全赢，也可全输，不能一赢一输；时，前两局必是甲一赢一输；而后两局必是某人全赢；时，可利用概率和为，求其“补集”即可；也可直接计算，此时需要注意前四局分布情况是：前两局必是甲一赢一输；接下来的两局也必是甲一赢一输，但最后的两局却没有限制；（2）利用期望值计算公式Eξ＝2×＋4×＋6×＝

试题解析：解法1：

（1）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为()2＋()2＝. 4分

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从在则有

， 7分

∴ξ的分布列为

ξ

2

4

6

P

9分

（2）Eξ＝2×＋4×＋6×＝. 12分

解法2：（1）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.

令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则k表示乙在第k局比赛中获胜.

由独立性与互斥性得

＝P(A1A2)＋P()＝， 2分

＝P()＋P()＋P()＋P()

＝2[()3()＋()3()]＝， 4分

＝P()＋P()＋P()＋P()

＝4()2()2＝， 7分

∴ξ的分布列为

ξ

2

4

6

P

9分

（2）Eξ＝2×＋4×＋6×＝. 12分

考点：随机变量的分布列，期望值