Question

定义在R上的函数及二次函数满足：且。

（1）求和的解析式；

（2）；

（3）设，讨论方程的解的个数情况．

Answer

（1）（2）（3）当时,方程有个解;

当时,方程有个解;当时,方程有个解;当时,方程有个解.

【解析】

试题分析：（1）求函数解析式，满足可利用方程组求解，由解得: ，而为二次函数，其解析式应用待定系数法求解可设，再根据三个条件且，列三个方程组解得，（2）不等式恒成立问题常转化为最值问题，本题转化为左边最小值不小于右边最大值，右边函数无参数，先根据导数求出其最大值，这样就转化为二次函数恒不小于零的问题，利用实根分布可得到充要条件所以（3）研究解的个数问题，需先研究函数图像，解方程，实际有两层，由解得；再由得两个解，由得三个解，结合这些解的大小，可得到原方程解得情况.

试题解析：(1) ,①

即②

由①②联立解得: . 2分

是二次函数, 且,可设,

由,解得.

. 4分

(2)设,

,

依题意知:当时,

,在上单调递减,

6分

在上单调递增,

解得:

实数的取值范围为. 9分

(Ⅲ)设,由(2)知,

的图象如图所示:

设,则

当,即时, ,有两个解, 有个解;

当,即时, 且,

有个解; 2分

当,即时, ,有个解;

当,即时, ,有个解. 13分

综上所述:

当时,方程有个解;

当时,方程有个解;

当时,方程有个解;

当时,方程有个解. 14分

考点：函数解析式的多种求法，不等式恒成立问题转化，函数与方程