Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，设点，，为抛物线上的动点（异于顶点），连结并延长交抛物线于点，连结、并分别延长交抛物线于点、，连结，设、的斜率存在且分别为、.

（1）若，，，求；

（2）是否存在与无关的常数，是的恒成立，若存在，请将用、表示出来；若不存在请说明理由.

Answer

（1）2；（2）.

【解析】

试题分析：（1）依题意求直线的方程，设两点的坐标分别为，联立方程组消去得到关于的方程，由韦达定理求出

，在根据弦长公式求解；（2）设求直线的方程代入抛物线方程，消去得到关于的方程，找到的关系是，用表示点的坐标，同理用表示点的坐标，由于三点共线，找到的关系，最后用斜率公式求，整理即得.

试题解析：(1)直线，设

4分

（2）设

则直线的方程为：，代入抛物线方程，

整理得，

，即

从而，故点

同理，点 8分

三点共线

即

整理得

所以，

即 13分

考点：直线与抛物线的位置关系，斜率公式，韦达定理， 弦长公式.