Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若，恒成立，求实数的最小值；

（3）证明.

Answer

（1）的单减区间是，单增区间是；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）函数问题先求定义域，当时，由于函数中含有绝对值符号，故要考虑或两种情况，接着求分别，令，求出其单调增区间或减区间；（2）当时，

，即，构造新函数，用导数法求函数的最小值，必须对分类讨论，从而求出的最小值；（3）由（2）得， ，当时，不等式左边，所以不等式成立，当时，令代入，用放缩法证明不等式成立.

试题解析：（1）当时，

当时，，

，

在上是减函数；

当时，，

，令得，，

在上单减，在上单增

综上得，的单减区间是，单增区间是． 4分

（2）当时，

即，设 5分

当时，，不合题意； 6分

当时，

令得，，

时，，在上恒成立，在上单增，

，故符合题意； 8分

②当时，，对，，，

故不合题意．综上，的最小值为． 9分

(3)由（2）得， ①

证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．

当n≥2时，令①式中得

，

，

，

所以当n≥2时不等式成立．

命题得证． 14分

考点：导数法求函数的单调性，恒成立，放缩法证明不等式.