Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为直角三角形，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.

（2）作DE的中点F，连接OF，AF，由于O是DB的中点，且OF∥BE，可知∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角；设正方形ABCD的边长为2，则，由于，AB=2AE，

可知，，则，又，∴=,由余弦定理的推理∴∠FOA==，故异面直线BE与AC所成的角的余弦值为.

试题解析：（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，

所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB， 3分

又ABCD为正方形，所以DB⊥AC， 4分

所以DB⊥平面AEC，BD面BED

故有平面AEC⊥平面BED. 6分

（2）作DE的中点F，连接OF，AF，

∵O是DB的中点，

∴OF∥BE，∴∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角。 8分

设正方形ABCD的边长为2，

则， 9分

∵，AB=2AE，

∴，，∴ 10分

又，∴=,∴∠FOA==

∴异面直线BE与AC所成的角的余弦值为 12分.

考点：1.直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理；2.异面直线成角；3.余弦定理的推论.