Question

已知直线过点且与抛物线交于A、B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设是直线上任意一点，求证：直线QA、QM、QB的斜率依次成等差数列.

Answer

(1) (2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)设直线方程为，代入得

设 ，，则有,而 ,

故

即，得，所以抛物线方程为;

(2)由是直线上任意一点，可设 由(1)知 ， ，

∴= , ∵ ==，

==，

+=+=

= = == =，有等差中项的性质可知直线QA、QP、QB的斜率依次成等差数列.

试题解析：(1)设直线方程为，代入得

设 ，，则有 2分

而 ,

故

即，得，所以抛物线方程为 6分

说明：取过M 点的特殊位置的直线求得抛物线的方程给满分.

(2)设 由(1)知 ， ，

∴= , ∵ ==，

==， 9分

+=+=

=

= == = 12分

所以直线QA、QP、QB的斜率依次成等差数列. 13分

考点：1.抛物线的方程；2.直线与抛物线的位置关系.