Question

已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围；

（3）当且，时，若有，求证：.

Answer

（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；

（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，， 方程有且只有一个根，又的值域为，;

（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，

则有，，又，

即，同理，又，，且在上单调递减，

，即.

试题解析：（1），令，即，解得，

令，即，解得，或，

的递增区间为，递减区间为和. 4分

（2）由（1）知，， 6分

方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知

8分

（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，

则有，，又，

即， 11分

，又，，且在上单调递减，

，即. 13分

考点：1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值.