Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若方程有解，求实数m的取值范围；

（3）若存在实数，使成立，求证：．

Answer

（1）递增区间为，递减区间为；（2）;（3）详见解析.

【解析】

试题分析: （1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；

（2）若方程有解有解，令，则原问题转化为求g（x）的值域，而m只要再g（x）的值域内即可。故对g（x）求导，则令，，所以在递增，在递减， ，故;

（3）根据的结构，构造辅助函数，则由（2）知，在递增，在递减，由条件有，不妨设，则必有，于是，再利用反证法证明，假设，则，

即，令，则有，即 （*），、令.，因为恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上是减函数，故,时，，这与（*）矛盾！所以原不等式得证，即．

试题解析：【解析】
（1）， 1分

令，或 3分

所以递增区间为，递减区间为 4分

（2），令，则

令，，

所以在递增，在递减， 6分

，故 8分

(3)令，则由（2）知，在递增，在递减.

由条件有，不妨设，则必有，于是 9分

假设，则，

即，令，

则有，即 （*），

令.， 11分

因为恒成立，所以在上是增函数，

所以，所以在上是减函数，

故,时，，这与（*）矛盾！

所以原不等式得证，即． 13分

考点：1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值.