Question

如图,是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.

Answer

(1) 参考解析；(2) ； (3)

【解析】

试题分析：(1)因为要证平面即直线与平面垂直的证明，通过证明这条直线垂直平面内的两条相交直线即可，依题意易得到.

(2)因为要求二面角的余弦值，一般是通过建立空间坐标系，写出相应的点的坐标，由于AC所在的向量就是平面EDB的法向量，所以关键是通过待定系数法求出平面EFB的法向量.再通过两法向量的夹角得到两平面的二面角的大小，二面角是钝角还是锐角通过图形来确定.

(3)因为点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面.通过对点M的假设写出向量AM.从而由该向量垂直平面的法向量，即可得到相应的点M的坐标.

试题解析：(1)证明： 因为平面， 所以.

因为是正方形，所以，又相交

从而平面.

(2)【解析】
因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为， 即，

所以.由可知，.

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则. 因为平面，所以为平面的法向量，，

所以.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

(3)【解析】
点是线段上一个动点，设. 则，

因为平面，所以,

即，解得.

此时，点坐标为，，符合题意.

考点：1.线面垂直的证明.2.二面角的问题.3.直线与平面平行.4.空间想象能力.