Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁（－3,0)，一条渐近线的方程是

（1）求双曲线C的方程；

（2）若以k（k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MA的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围。

Answer

(1) ；(2)

【解析】

试题分析：(1)因为中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（一3,0)，一条渐近线的方程是，两个条件即可求出双曲线的方程.

(2)依题意可得通过假设直线的方程，联立双曲线方程消去y，即可得到一个关于x的二次方程，运用韦达定理以及判别式要大于零，即可写出线段MN的中垂线的直线方程，从而求出直线与两坐标轴的交点，即可表示出所求的三角形的面积，从而得到一个等式结合判别式的关系式，即可得到结论.

试题解析：（1）设双曲线的方程为，

由题设得 解得，所以双曲线的方程为；

（2）设直线的方程为，点，的坐标满足方程组，将①式代入②式，得，

整理得，此方程有两个不等实根，于是，

且，

整理得.③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足：

，，从而线段的垂直平分线的方程为，此直线与轴，轴的交点坐标分别为，，

由题设可得，整理得，，

将上式代入③式得，整理得，，解得或， 所以的取值范围是．

考点：1.待定系数的应用.2.直线与圆锥曲线的位置关系.3.三角形的面积的表示方法.4.韦达定理.5.代数的运算能力.