Question

某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台），其总成本为g(x)万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收人r(x)满足假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：

（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？

（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？

Answer

(1) 大于300台小于1050台； (2) 600台

【解析】

试题分析：(1) 由于销售收入是一个关于产品数量x的一个分段函数，另外计算工厂的盈利需要将销售收入r(x)减去总的成本g(x)万元，所以在两段函数中分别求出盈利大于零的时候产品数量的范围，及可求得结论.

(2)通过二次函数的最值的求法即可得到盈利最大值时对应的产品数x的值，本小题单位的转化也是易错点.

试题解析：依题意得，设利润函数为，则，

所以 （1）要使工厂有盈利，则有f(x)＞0，因为

f(x)＞0⇔，

⇒⇒

⇒或， 即.

所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内

（2）当时，

故当x＝6时，f(x)有最大值4.5.而当x＞7时，.

所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．

考点：1.分段函数的应用.2.函数的最值.3.实际问题的构建数学模型解决.