Question

已知函数

（1）当a＝2时，求函数y＝f(x)的图象在x=0处的切线方程；

（2）判断函数f(x)的单调性；

（3）求证：

Answer

(1) ；(2) 参考解析；（3）参考解析

【解析】

试题分析：(1)已知函数是一个 含对数与分式，以及复合函数，需要正确地对函数求导，因为函数在x=0处的切线方程，所以将x=0代入导函数，即可求出切线的斜率.再根据横坐标为0，计算出纵坐标，根据点斜式即可写出切线方程.

(2)需要判断函数的单调性，要对函数求导，判断导函数的值的正负，所以要根据参数的情况分类讨论后作出判定.

（3)解法（一）令为特殊值，通过函数的单调性得到一个不等式成立，再将x转化为数列中的n的相关的值，再利用一个不等式，从而得到结论.解法（二）根据结论构造函数，通过函数的最值证明恒成立，再将x转化为n的表达式即可.

试题解析：（1）当时，，

∴，

∴，所以所求的切线的斜率为3.又∵，所以切点为. 故所求的切线方程为：.

（2）∵，

∴． ①当时，∵，∴； ７分

②当时，

由，得；由，得； 综上，当时，函数在单调递增；

当时，函数在单调递减，在上单调递增．

（3）方法一：由（2）可知，当时，在上单调递增． ∴ 当时，，即． 令（），则． 另一方面，∵，即,

∴ ． ∴ （）． 方法二：构造函数， ∴， ∴当时,；

∴函数在单调递增． ∴函数 ，即

∴，，即

令（），则有．

考点：1.函数的导数的几何意义.2.函数的单调性.3.函数与数列的知识交汇.4.构造新函数的思想.5.运算能力.