Question

如图，直角梯形中，,点分别是的中点，点在上，沿将梯形翻折，使平面平面.

（1）当最小时，求证：;

（2）当时，求二面角平面角的余弦值.

Answer

（1）参考解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）因为当最小时，及连结AC与EF的交点即为G点，通过三角形的相似可得到EG的长度.需要证明直线与直线垂直，根据题意建立空间直角坐标系，即可得到相关各点的坐标，从而写出相关向量，即可判断直线的垂直关系.

（2）由题意所给的体积关系可确定点G的位置，求二面角关键是转化为两平面的法向量的夹角，由于平面BCG的法向量易得，关键是求出平面DGB的法向量.通过待定系数法即可求得，还需判断二面角与法向量夹角的大小关系.解法二用到的推理论证的数学思想很重要.

试题解析：(1)证明：∵点、分别是、的中点,∴EF//BC

又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，

如图建立空间坐标系E﹣xyz．

翻折前,连结AC交EF于点G,此时点G使得AG+GC最小.

EG=BC=2,又∵EA=EB=2．

则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),

∴=(﹣2,2,2),=(-2,-2,0)

∴=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0，

∴⊥

(2)解法一：设EG=k,

∥平面,点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离.

[(3- k)+4]×2=7-k

=

又=,

,=,

即EG=1

设平面DBG的法向量为,∵G(0,1,0),

∴(－2,2,2),

则 ,即

取x＝1,则y＝2,z＝－1,∴

面BCG的一个法向量为

则cos<>= 由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角,

所以此二面角平面角的余弦值为

(2)解法二:由解法一得EG=1,过点D作DHEF,垂足H,过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD.

∵平面AEFD⊥平面EBCF, DH平面EBCF，ODOB,所以就是所求的二面角的平面角.由于HG=1,在OHG中,

又DH=2，在DOH中

所以此二面角平面角的余弦值为

考点：1.图形的翻折问题.2.线面垂直的判定.3.二面角的求法.4.空间坐标系中的运算.5.空间想象能力.