Question

已知动圆过定点（1,0），且与直线相切.

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和,①当时，求证直线恒过一定点；

②若为定值，直线是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）①参考解析，②

【解析】

试题分析：（1）根据题意可假设抛物线方程为，由抛物线的定义可求得的值，从而可求得抛物线的方程.

（2）根据题意假设直线AB的方程，联立抛物线的方程，消去y得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理得到A,B两点坐标的等式.①由直线的垂直可得到A,B坐标的一个等式，从而可化简直线AB的方程即可得到结论.②当为一个一般的定值时，需要分类讨论，解决问题的方法类似于①小题，同样是通过A,B的斜率关系得到一个等式，从而得到结论.

试题解析：(1)设动圆圆心M(x,y),

依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线其方程为.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x1≠x2(否则)且x1x2≠0,则

所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,

则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2－4y+4b=0

由韦达定理得-------※

①当=时,所以,所以y1y2=16,又由※知:y1y2=所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(－4,0).

②当为定值时.若=,由①知,

直线AB恒过定点M(－4,0)当时,由,得==

将※式代入上式整理化简可得:,所以,此时,直线AB的方程可表示为y=kx+,所以直线AB恒过定点所以当时,直线AB恒过定点(－4,0).,

当时直线AB恒过定点

考点：1.抛物线的定义.2.直线与抛物线的位置关系.3.过定点的问题.