Question

已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F₁B₁ F₂B₂是一个面积为8的正方形.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点P的坐标为P(－4,0), 过P点的直线L与椭圆C相交于M、N两点,当线段MN的中点G落在正方形内(包含边界)时,求直线L的斜率的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）依题意需要求椭圆的标准方程，所以要找到两个关于基本量的等式，由以及面积的关系可求椭圆的方程.

（2）由于直线与椭圆的相交得到的弦的中点坐标，可通过假设直线方程与椭圆的方程联立可求得，判别式要大于零.其中用直线的斜率表示中点坐标.由于中点在正方形内，其实就是要符合一个不等式的可行域问题.因此通过解不等式即可得到所求的结论.

试题解析：(1)求得椭圆C的方程为;;

(2)∵点P的坐标为(-4,0),显然直线L的斜率k存在,

∴直线L方程为 如图设点M、N的坐标分别为,

线段MN的中点为,由

由△>0解得: 又

, ∵, ∴点G不可能在y轴的右边,

又直线F1B2, F1B1的方程分别为.

∴点G在正方形B1F2B1F1内的充要条件为: 即

即.

考点：1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.线性规划的知识.4.韦达定理.