Question

平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接

（1）求证：；

（2）求二面角 的余弦值.

Answer

（1）参考解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）直线与直线垂直的证明通过转化为证明直线与平面垂直，由于通过翻折为两个垂直的平面所以只需证明直线AB垂直与两个平面的交线BD即可，通过已知条件利用余弦定理即可得到直角.

（2）求二面角的问题通常就是建立空间直角坐标系，根据BD与DC垂直来建立.通过写出相应点的坐标，以及相应的平面内的向量，确定两平面的法向量，并求出法向量的夹角，再判断法向量的夹角与二面角的大小是相等还是互补，即可得到结论.

试题解析：（1）在中，

所以 所以，

因为平面平面，所以平面，所以；…3分

（2）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系.

则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），A（，0，1）

设平面ABC的法向量为，

而

由得：取再设平面DAC的法向量为而

由得：取

所以即二面角B-AC-D的余弦值是

考点：1.线线垂直的判定.2.面面垂直性质.3.二面角的求法.4.空间坐标系的应用.5.法向量的求法.