Question

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，点是双曲线右支上相异两点，且满足为线段的中点，直线的斜率为

（1）求双曲线的方程；

（2）用表示点的坐标；

（3）若，的中垂线交轴于点，直线交轴于点，求的面积的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）求双曲线的标准方程只需找到两个关于的两个等式，通过解方程即可得到的值，从而得到双曲线方程.

（2）由直线AB的方程与双曲线方程联立，消去y可得关于x的一个一元二次方程，判别式必须满足大于零，再由韦达定理可表示出点D的坐标，又根据即可用k表示点D的纵坐标.从而可求出点D的坐标.

（3）的中垂线交轴于点，直线交轴于点求的面积.通过直线AB可以求出点N的坐标，又由线段AB的中垂线及中点D的坐标，可以写出中垂线的方程，再令y=0，即可求出点M.以MN长为底边，高为点D的纵坐标，即可求出面积的表达式.再用最值的求法可得结论.

试题解析：（1）

双曲线的方程为；

（2）方法一：

设直线的方程为代入方程得

当时记两个实数根为

则

∴的方程为把代入得

下求的取值范围：法一：由得即

而所以化简得

法二：在中令得

即所以

再结合 得 ；

方法二：两式相减得

（3）由（2）可知方程中令得

设点的坐标为由得

∴

考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3.三角形的面积的求法.4.最值的求法.