Question

已知函数

（1）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；

（2）设分别为的极大值和极小值，其中且求的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）因为函数，所以要求函数存在极大值和极小值即对函数的求导，要保证导函数的对应的方程有两个不相等的正实根.所以通过判别式大于零和韦达定理中根与系数的关系即可得到结论.

（2）根据极大值与极小值的含义得到两个相应的方程，又由两个极值点的关系，将其中一个消去，由两个极值相加可得关于关于极大值点的等式从而通过基本不等式求最值即可.

试题解析：（1）其中

由题设知且关于的方程有两个不相等的正数根，

记为满足化简得

经检验满足题设，故为所求.

（2）方法一：由题设结合知，

且

所以

，

因为，所以在区间是减函数，

所以设且，

所以在区间上是减函数，

所以

因此

方法二：由题设结合知

且

所以

，

设，，

所以在区间上是增函数，

而，设，则在时是增函数，

所以当时，，即，

所以且

因此

方法三：由方法一知

设，则

所以在区间上是增函数，而

所以

方法四：前同方法二知，

当时，关于的方程有两个不相等的正数根

那么即解得，

下同方法二.

考点：1.利用导数求极值.2.利用基本不等式求极值.3.函数与不等式的关系.4.消元解方程的思想.