Question

已知函数，.

（Ⅰ）若与在处相切，试求的表达式；

（Ⅱ）若在上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ)证明不等式： .

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ)见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导数，利用与在处相切，可求的表达式；

（Ⅱ） 在上是减函数，可得导函数小于等于 在上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数的取值范围；

（Ⅲ）当x≥2时，证明 ， 当x＞1时，证明 ，利用叠加法，即可得到结论．

试题解析：（Ⅰ）由于与在处相切

且 得： 2分

又

3分

（Ⅱ）在上是减函数，

在上恒成立. 5分

即在上恒成立，由，

又 得 7分

（Ⅲ)由（Ⅱ）可得：当时：在上是减函数

当时： 即

所以 从而得到： 10分

当时：

当时：

当时：

当时：，

上述不等式相加得：

即.（） 12分

考点：1、不等式的证明；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究曲线上某点切线方程．