Question

已知两点，直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为.

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.

求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）.

Answer

（Ⅰ）（）；（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设点 的坐标为 则, ,化简可得轨迹方程.

（Ⅱ）设出直线PE、PF的点斜式方程,分别求出它们与圆（）相切条件下与曲线C的另一交个交点Q、R.的坐标,写出直线的方程,点到直线的距离公式可求的底边上的高.进而得出面积的表达式,再探索用基本不等式求该式最值的方法.

试题解析：（Ⅰ）设点， 2分

整理得点M所在的曲线C的方程：（） 3分

（Ⅱ）由题意可得点P（） 4分

因为圆的圆心为（1，0），

所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数

----------5分

设直线PE的方程为，

与椭圆方程联立消去，得：

， 6分

由于1是方程的一个解，

所以方程的另一解为 7分

同理 8分

故直线RQ的斜率为

= 9分

把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去整理得

所以 10分

原点O到直线RQ的距离为 11分

. 12分

考点：1、动点轨迹方程的求法；2、直线与圆、圆锥曲线的位置关系；3、基本不等式的应用.