Question

如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.

(1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离．

Answer

（1）BC⊥PC；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要证线线垂直，要从线面垂直角度入手，根据题中所给条件易知BC⊥平面PDC，而PC在平面PDC，从而能够证明出BC⊥PC. （2）要求点到面的距离，常用到等体积定理，由已知条件可知

VA－PBC＝VP－ABC ，而通过计算可知VP－ABC＝S△ABC·PD＝，接下来只需要求出△PBC的面积，这样根据S△PBC·h＝，∴h＝，所以点A到平面PBC的距离为.

试题解析：(1)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.

由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，

∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，

∴BC⊥PC.

(2)设点A到平面PBC的距离为h，

∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，

∵AB＝2，BC＝1，∴S△ABC＝AB·BC＝1，

∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，

∴VP－ABC＝S△ABC·PD＝，

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，

∵PD＝DC＝1，∴PC＝，

∵PC⊥BC，BC＝1，

∴S△PBC＝PC·BC＝，

∵VA－PBC＝VP－ABC，

∴S△PBC·h＝，∴h＝，

∴点A到平面PBC的距离为.

考点：1.线线垂直的证明；2.点到面的距离的求解.