Question

已知线段MN的两个端点M、N分别在轴、轴上滑动，且，点P在线段MN上，满足，记点P的轨迹为曲线W．

(1)求曲线W的方程，并讨论W的形状与的值的关系；

(2)当时，设A、B是曲线W与轴、轴的正半轴的交点，过原点的直线与曲线W交于C、D两点，其中C在第一象限，求四边形ACBD面积的最大值．

Answer

（1）当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆；当时，曲线的方程为，为以原点为圆心、半径为2的圆；当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆．（2）.

【解析】

试题分析：（1）设出，根据已知条件以及 ，得到一个关系式，化简成标准形式为，分别讨论当，，时所表达的的形状；（2）由，则曲线的方程是，得出，再设，依据对称性得，表示出，根据基本不等式得到，故四边形面积有最大值.

试题解析：（1）设，则，而由 ，则，解得，代入得：，化简得.

当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆；

当时，曲线的方程为，为以原点为圆心、半径为2的圆；

当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆．

（2）由（1）当时，曲线的方程是，可得．设，由对称性可得．因此，四边形的面积，

即，而，即，所以四边形的面积当且仅当时，即且时取等号，故当C的坐标为时，四边形面积有最大值.

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线的联立问题.