Question

定义在上的函数同时满足以下条件：

①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；

②是偶函数；

③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．

(1)求函数＝的解析式；

(2)设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<，求实数m的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用已知条件可知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c中b＝0，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，另外根据条件③知f′(0)＝c＝－1，从而能够求出a，b，c的值；（2）对于恒成立求参数m的取值范围，可以利用分离参数法，得到m>xlnx－x3＋x，构造函数M(x)＝xlnx－x3＋x，通过两次求导，得到M(x)在[1，e]上递减，且M(x)的最小值为2e－e3，故m>2e－e3.

试题解析：（1）f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①

由f′(x)是偶函数得：b＝0②

又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③

由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.

（2）由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－xlnx－x3＋x

设M(x)＝xlnx－x3＋x x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2

设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝

∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减

于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0

∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3

于是有m>2e－e3为所求．

考点：1.函数的奇偶性与利用导函数求最值；2.恒成立求参数取值范围问题.