Question

已知函数．

（1）证明函数在区间上单调递减；

（2）若不等式对任意的都成立，（其中是自然对数的底数），求实数的最大值．

Answer

（1）函数在区间上单调递减；（2）.

【解析】

试题分析：（1）对原函数进行求导，难易判断正负，再令，并求导，从而判断出在上单调递减，∴，即，所以函数在区间上单调递减；（2）对不等式两边进行取对数，分离出参数，构造函数并求导，在令分子为一个新的函数求导，并利用（1）得时，，所以函数在上单调递减，∴

所以，所以函数在上单调递减.所以，所以函数在上最小值为，即，则的最大值为.

试题解析：（1），令，

，所以函数在上单调递减，∴，

∴，∴函数在区间上单调递减.

（2）在原不等式两边取对数为，由知

设

，

设，

，

由（1）知时，，

∴函数在上单调递减，∴

∴，∴函数在上单调递减.

∴，

∴函数在上最小值为，即

∴的最大值为.

考点：1.利用导数判断函数单调性；2.分离参数求函数取值范围.