Question

如图，四棱锥中，底面是菱形，，，,,,是的中点，上的点满足．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

Answer

（I）详见解析；（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）是菱形，，这是由两个正三角形 构成的菱形，又是的中点，.又，．由此可得 平面．（Ⅱ）是由正三角形构成的菱形，又是的中点，所以，所以.另外根据所给长度，用勾股定理可得，又，，平面.又，所以点F到平面BEC的距离等于，这样由棱锥的体积公式可得的体积.

试题解析：（Ⅰ）证明： ，是的中点，

． （2分）

，，，

是正三角形， （3分）

． （4分）

又，

平面． （5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）和题设知：在中，，

，，

． （6分）

,，满足，

． （7分）

又，，

平面． （8分）

过作于，则，平面，

，． （10分）

． （12分）

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、几何体的体积.