Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且的面积．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分？若存在，求出的斜率取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）椭圆的方程为.（Ⅱ）存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是

.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意知：.，且，由此可求得，，二者相加即得，从而得椭圆的方程. （Ⅱ）假设这样的直线存在，且直线的方程为，设与椭圆的两交点为、，若线段恰被直线平分，则.这显然用韦达定理.由 得．

由得．再用韦达定理得 ，代入得，再将此式代入得一只含的不等式，解此不等式即得的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）由题意知：， （1分）

椭圆上的点满足，且，

．

，．

． （2分）

又． （3分）

椭圆的方程为． （4分）

（Ⅱ）假设这样的直线存在．与直线相交，直线的斜率存在.

设的方程为， （5分）

由 得．（*） （6分）

直线与椭圆有两个交点，

（*）的判别式，即．① （7分）

设、，则 ． （8分）

被直线平分，可知，

，． ② （9分）

把②代入①，得，即． （10分）

，． （11分）

或．即存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是

． （12分）

考点：直线与圆锥曲线.