Question

已知函数.

（Ⅰ）若，求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）设函数图象上任意一点的切线的斜率为，当的最小值为1时，求此时切线的方程.

Answer

（Ⅰ）的单调递增区间为，；单调递减区间为；极大值为；极小值为； （Ⅱ）切线的方程为：．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）注意，的定义域为（）.将代入，求导得：.由得，或，由得，由此得的单调递增区间为，；单调递减区间为，进而可得极大值为；极小值为. （Ⅱ）求导，再用重要不等式可得导数的最小值，即切线斜率的最小值：，由此得.由，即得，所以切点为，由此可得切线的方程．

试题解析：（Ⅰ）的定义域为（）时， 1分

当时， 2分

由得，

由得，或，由得， 3分

∴的单调递增区间为，；单调递减区间为 5分

∴极大值为；极小值为 7分

（Ⅱ）由题意知 ∴ 9分

此时，即，∴，切点为， 11分

∴此时的切线方程为：． 13分

考点：导数的应用.