Question

已知数列的前项和为，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，求使恒成立的实数的取值范围．

Answer

（I）；（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（I）首先由求得.为了求得通项公式，应由消去推得 的递推公式：，即，显然这是一个等比数列，由此可得其通项公式.

（Ⅱ）首先将化简：，显然用裂项法可求得： .

不等式对任意恒成立，也就是恒成立，所以.

设，下面就来求其最大值.求数列的最值，首先研究数列的单调性.研究数列的单调性，一般考查相邻两项的差的符号.，由此可知，时，数列单调递减，时，数列单调递增.所以最大，从而.

试题解析：（I）由可得， 1分

∵， ∴，

∴，即， 3分

∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴． 5分

（Ⅱ） 7分

∴ 8分

由对任意恒成立，即实数恒成立；

设，，

∴当时，数列单调递减，时，数列单调递增； 10分

又，∴数列最大项的值为

∴ 12分

考点：1、等比数列；2、裂项法求和；3、数列的单调性及最值.