Question

已知椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且△的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线与椭圆相交于、两点，直线与直线的交点为，证明：点总在直线上.

Answer

（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由焦点坐标知：.又椭圆上的点满足，由可求得，再由勾股定理可求得，从而求得.再由求得，从而得椭圆的方程.（Ⅱ）首先考虑与轴垂直的情况，此时可求出直线与直线的交点为，的方程是：，代入验证知点在直线上.当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，点、，，则，，要证明共线，只需证明，即证明.

若，显然成立；若， 即证明

而，这显然用韦达定理.

试题解析：（Ⅰ）由题意知：， 1分

椭圆上的点满足，且，

．

，．

2分

又 3分

椭圆的方程为． 4分

（Ⅱ）由题意知、，

（1）当直线与轴垂直时，、，则的方程是：，

的方程是：，直线与直线的交点为，

∴点在直线上. 6分

（2）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，、，

由得

∴， 7分

，，共线，∴ 8分

又，，需证明共线，

需证明，只需证明

若，显然成立，若， 即证明

∵

成立， 11分

∴共线，即点总在直线上. 12分

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线.