Question

已知函数．

（Ⅰ）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当且时，证明： .

Answer

（I）的取值范围为.（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（I）函数在上为增函数，则导数在上恒成立，即 在上恒成立.这只需即可.（Ⅱ）注意用第（I）题的结果.由（I）可得， ，从而得恒成立，（当且仅当时，等号成立），由此得，即.如何将这个这个不等式与待证不等式联系起来？在中，令，得.

由此得，即.这样叠加即可得：.

试题解析：（I）函数的定义域为. 1分

在上恒成立，即在上恒成立， 2分

∵ ∴，∴的取值范围为 4分

（Ⅱ）由（I）当，时，，又，

∴（当时，等号成立），即 5分

又当时，设，

则∴在上递减，

∴，即在恒成立，

∴时， ①恒成立，（当且仅当时，等号成立）， 7分

∴当时，，由①得，即 ..②.

当时，，，在中，令，得 .. ③.

∴由②③得，当时，，即. 10分

∴，

，

，

.

∴. 12分

考点：1、导数的应用；2、不等式的证明.