Question

已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.

Answer

(1)椭圆的方程为；(2)面积的最大值为．

【解析】

试题分析：(1) 求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，依题意，可得：，从而可得的值，即得椭圆的方程；(2)由于直线l是任意的，故可设其方程为.根据坐标原点到直线的距离为，可得与的关系式，从而将双参数问题变为单参数问题.将作为底边，则的高为常数，所以要使的面积最大，就只需边最大.将用或表示出来便可求得的最大值，从而求得的面积的最大值.

试题解析：（1）依题意，可得：

所以，椭圆；

（2）坐标原点到直线的距离为，所以，

联立可得：

所以，

由题意，得：，令，所以

，

所以，．

考点：椭圆方程，直线与圆锥曲线；点到直线的距离公式，基本不等式；弦长及三角形的面积．