Question

设函数.

（1）求函数的图像在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若，为整数，且当时，，求的最大值．

Answer

（1）函数的图像在点处的切线方程为；（2）若， 在区间上单调递增，若，在区间上单调递减，在上单调递增；（3）整数的最大值为2.

【解析】

试题分析：（1）求函数的图像在点处的切线方程，只需求出斜率即可，由导数的几何意义可知，，因此对函数求导，得，求出的斜率，由点斜式可得切线方程；（2）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母，故应按的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（3）由题设条件结合（2），将不等式，在时成立转化为成立，由此问题转化为求在上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出的最大值．本题解题的关键一是应用分类的讨论的方法，第二是化归思想，将问题转化为求函数的最小值问题．

试题解析：（1），，

函数的图像在点处的切线方程为

（2）.

若，则恒成立，所以，在区间上单调递增.

若，则当时，，当时，，

所以，在区间上单调递减，在上单调递增.

（3）由于，所以，

故当时，①

令，则

函数在上单调递增，而

所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点.

设此零点为，则.当时，；当时，；

所以，在上的最小值为.由可得

所以，由于①式等价于.

故整数的最大值为2.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．