Question

如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点．

（1）求证:平面;

（2）求平面和平面的夹角.

Answer

（1）详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）证明直线平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，还可以利用面面平行的性质，本题由于分别为的中点，可得，，容易证明平面平面，可得直线平面；本题还可用向量法，由于底面,且底面为正方形,可以为原点,以分别为轴，建立空间坐标系，由题意写出各点的坐标，从而得，设平面的法向量为，求出一个法向量，计算出，即可；（2）求平面和平面的夹角，可用向量法，由（1）解法二可知平面的法向量，由题意可知：平面，故向量是平面的一个法向量,利用夹角公式即可求出平面和平面的夹角.

试题解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量

建立空间直角坐标系

则.

. 4分

设平面的法向量为

即 令, 首发

则. 4分

又平面平面 6分

（2）底面是正方形,又平面

又,平面。 8分

向量是平面的一个法向量,又由（1）知平面的法向量. 10分

二面角的平面角为. 12分

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．