Question

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.

（1）求该椭圆的方程；

（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．

试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，

∴ ① 2分

又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，

∴ 得上交点为，∴ ② 4分

由①代入②得，解得或（舍去），

从而

∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分

（2）∵ 倾斜角为的直线过点，

∴ 直线的方程为，即， 7分

由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得 ， 9分

解得，即， 2分

又满足，故点在抛物线上。所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。 13分

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的简单性质．