Question

设函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

Answer

（1）函数的单调递增区间为；（2）的取值范围是．

【解析】

试题分析：（1）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为的的取值区间；（2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数的取值范围．方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据题意列出关于实数的不等式组进行求解．本题将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，是解决问题的关键．

试题解析：（1）函数的定义域为， 1分

∵， 2分

∵，则使的的取值范围为，

故函数的单调递增区间为． 4分

（2）方法1：∵，

∴． 6分

令，

∵，且，

由．

∴在区间内单调递减，在区间内单调递增， 9分

故在区间内恰有两个相异实根 12分

即解得：．

综上所述，的取值范围是． 14分

方法2：∵，

∴． 6分

即，

令，

∵，且，

由．

∴在区间内单调递增，在区间内单调递减． 9分

∵，，，

又，

故在区间内恰有两个相异实根． 12分

即．

综上所述，的取值范围是． 14分

考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．