Question

(拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，

(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．

Answer

(1) △AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，证明见解析 (2)

【解析】

解 (1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.

以下证明：△AMF∽△BGM.

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E

＝∠BMG，∠A＝∠B，

∴△AMF∽△BGM.

(2)当α＝45°时，

可得AC⊥BC且AC＝BC.

∵M为AB的中点，

∴AM＝BM＝2.

又∵△AMF∽△BGM，

∴＝

∴BG＝＝＝.

又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，

∴CG＝4－＝.

∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.